在线性代数的宏伟体系中，行列式占据着至关重要的地位，它不仅是研究矩阵性质的有力工具，在求解线性方程组、计算向量空间的体积等诸多领域都有着广泛的应用，而行列式展开作为计算行列式的核心方法之一，犹如一把钥匙，为我们打开了深入探索行列式奥秘的大门，本文将深入探讨行列式展开的原理、方法及其应用。
行列式展开的基本概念
行列式是一个由 $n$ 阶方阵所确定的数值，对于一个 $n$ 阶行列式，我们可以通过行列式展开的方法将其转化为较低阶行列式的计算，以二阶行列式为例，设二阶行列式 $\begin{vmatrix}a{11}&a{12}\a{21}&a{22}\end{vmatrix}$，其值为 $a{11}a{22}-a{12}a{21}$，而对于更高阶的行列式,我们引入了余子式和代数余子式的概念。
在 $n$ 阶行列式 $D = \begin{vmatrix}a{ij}\end{vmatrix}$ 中，把元素 $a{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列上的所有元素都划去，留下来的 $n - 1$ 阶行列式叫做元素 $a{ij}$ 的余子式，记作 $M{ij}$，而代数余子式 $A{ij}=(-1)^{i + j}M{ij}$。
行列式按行（列）展开定理
行列式按行（列）展开定理是行列式展开的核心内容，该定理表明：$n$ 阶行列式 $D$ 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D=\sum{j = 1}^{n}a{ij}A{ij}(i = 1,2,\cdots,n)$（按第 $i$ 行展开） 或 $D=\sum{i = 1}^{n}a{ij}A{ij}(j = 1,2,\cdots,n)$（按第 $j$ 列展开）
下面我们来证明按行展开的情况，设 $D=\begin{vmatrix}a{11}&a{12}&\cdots&a{1n}\a{21}&a{22}&\cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{n1}&a{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$，将 $D$ 按第 $i$ 行展开。
我们可以把 $D$ 表示为 $n$ 个行列式之和，即 $D=\begin{vmatrix}a{11}&a{12}&\cdots&a{1n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{i1}&0&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{n1}&a{n2}&\cdots&a{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a{11}&a{12}&\cdots&a{1n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&a{i2}&\cdots&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{n1}&a{n2}&\cdots&a{nn}\end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix}a{11}&a{12}&\cdots&a{1n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&\cdots&a{in}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{n1}&a{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$
对于每个行列式，通过一系列的行交换和列交换，将其转化为可以直接用余子式表示的形式，最终可以得到 $D=\sum{j = 1}^{n}a{ij}A_{ij}$。
行列式展开的计算方法与技巧
在实际计算行列式时，我们通常会选择元素 $0$ 较多的行或列进行展开，这样可以减少计算量，计算行列式 $\begin{vmatrix}1&2&0&3\0&4&5&6\0&0&7&8\0&0&0&9\end{vmatrix}$,我们可以按第一列展开。
根据行列式按列展开定理，$D = 1\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}4&5&6\0&7&8\0&0&9\end{vmatrix}+0\times(-1)^{2 + 1}\begin{vmatrix}2&0&3\0&7&8\0&0&9\end{vmatrix}+0\times(-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix}2&0&3\4&5&6\0&0&9\end{vmatrix}+0\times(-1)^{4 + 1}\begin{vmatrix}2&0&3\4&5&6\0&7&8\end{vmatrix}$
而 $\begin{vmatrix}4&5&6\0&7&8\0&0&9\end{vmatrix}=4\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}7&8\0&9\end{vmatrix}+0\times(-1)^{2 + 1}\begin{vmatrix}5&6\0&9\end{vmatrix}+0\times(-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix}5&6\7&8\end{vmatrix}=4\times7\times9 = 252$
所以原行列式的值为 $1\times252=252$。
我们还可以利用行列式的性质，如交换两行（列）行列式变号、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）行列式的值不变等，先对行列式进行化简,再进行展开计算。
行列式展开的应用
行列式展开在很多领域都有重要的应用，在求解线性方程组方面，克莱姆法则就是利用行列式展开来求解 $n$ 元线性方程组，对于 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组 $\begin{cases}a{11}x{1}+a{12}x{2}+\cdots+a{1n}x{n}=b{1}\a{21}x{1}+a{22}x{2}+\cdots+a{2n}x{n}=b{2}\\cdots\a{n1}x{1}+a{n2}x{2}+\cdots+a{nn}x{n}=b{n}\end{cases}$，当系数行列式 $D=\begin{vmatrix}a{11}&a{12}&\cdots&a{1n}\a{21}&a{22}&\cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a{n1}&a{n2}&\cdots&a{nn}\end{vmatrix}\neq0$ 时，方程组有唯一解，且 $x{j}=\frac{D{j}}{D}(j = 1,2,\cdots,n)$，$D_{j}$ 是把 $D$ 中第 $j$ 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式。
在几何中，行列式可以用来计算平行六面体的体积，对于三维空间中以向量 $\vec{a}=(a{1},a{2},a{3})$，$\vec{b}=(b{1},b{2},b{3})$，$\vec{c}=(c{1},c{2},c{3})$ 为棱的平行六面体，其体积 $V=\begin{vmatrix}a{1}&a{2}&a{3}\b{1}&b{2}&b{3}\c{1}&c{2}&c{3}\end{vmatrix}$ 的绝对值。
行列式展开作为线性代数中的重要方法，为我们计算行列式的值、求解线性方程组以及解决几何问题等提供了有力的工具，通过深入理解行列式展开的原理和方法，并掌握相关的计算技巧，我们能够更加熟练地运用行列式这一强大的数学工具，进一步探索线性代数以及其他相关领域的奥秘，随着科技的不断发展，行列式展开在计算机图形学、物理学等众多学科中也将发挥更加重要的作用。
