在高等数学的线性代数领域中,行列式是一个极为重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的特征值等诸多方面都有着广泛的应用，而三阶行列式作为行列式中的一个重要类型，其计算方法更是基础且关键，下面我们就来详细探讨三阶行列式的几种常见计算方法。
对角线法则
对角线法则是计算三阶行列式最直观的方法之一,对于一个三阶行列式 [ \begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a_{33} \end{vmatrix} ] 它的值等于从左上角到右下角的三条对角线上元素之积的和，减去从右上角到左下角的三条对角线上元素之积的和，具体计算过程如下：
从左上角到右下角的三条对角线元素乘积分别为：(a{11}a{22}a{33})、(a{12}a{23}a{31})、(a{13}a{21}a{32})；从右上角到左下角的三条对角线元素乘积分别为：(a{13}a{22}a{31})、(a{12}a{21}a{33})、(a{11}a{23}a{32})。
则该三阶行列式的值(D=a{11}a{22}a{33}+a{12}a{23}a{31}+a{13}a{21}a{32}-a{13}a{22}a{31}-a{12}a{21}a{33}-a{11}a{23}a{32})。
计算三阶行列式(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}) 按照对角线法则： 从左上角到右下角的三条对角线元素乘积之和为：(1\times5\times9 + 2\times6\times7 + 3\times4\times8=45 + 84+96 = 225)； 从右上角到左下角的三条对角线元素乘积之和为：(3\times5\times7+2\times4\times9 + 1\times6\times8=105 + 72+48 = 225)； 所以该行列式的值为(225 - 225=0)。
需要注意的是,对角线法则只适用于二阶和三阶行列式，对于四阶及以上的行列式并不适用。
按行（列）展开法则
按行（列）展开法则是计算行列式的一种通用方法，它可以将三阶行列式转化为二阶行列式来计算。
设三阶行列式(D=\begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a{33} \end{vmatrix}) 按第一行展开：(D = a{11}A{11}+a{12}A{12}+a{13}A{13}) A{ij}=(-1)^{i + j}M{ij})，(M{ij})是元素(a{ij})的余子式，它是去掉(a{ij})所在的第(i)行和第(j)列后剩下的二阶行列式。
对于元素(a{11})，它的余子式(M{11}=\begin{vmatrix} a{22} & a{23} \ a{32} & a{33} \end{vmatrix})，代数余子式(A{11}=(-1)^{1 + 1}M{11}=M{11})；元素(a{12})的余子式(M{12}=\begin{vmatrix} a{21} & a{23} \ a{31} & a{33} \end{vmatrix})，代数余子式(A{12}=(-1)^{1+2}M{12}=-M{12})。
同样,我们也可以按其他行或列展开，例如按第二列展开：(D=a{12}A{12}+a{22}A{22}+a{32}A{32})
以行列式(\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 1 \ 20 & 1 & -4 \end{vmatrix})为例，按第一行展开： (A{11}=(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix}=(-1)\times(-4)-1\times1 = 3) (A{12}=(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix} 4 & 1 \ 20 & -4 \end{vmatrix}=-(4\times(-4)-1\times20)=36) (A_{13}=(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 4 & -1 \ 20 & 1 \end{vmatrix}=4\times1-(-1)\times20 = 24)
则(D=2\times3+1\times36+(-1)\times24=6 + 36-24 = 18)
利用行列式的性质化简后计算
行列式具有一些重要的性质,如交换两行（列），行列式的值变号；某行（列）的元素乘以一个数(k)，行列式的值也乘以(k)；某行（列）的元素加上另一行（列）对应元素的(k)倍，行列式的值不变等，我们可以利用这些性质将三阶行列式化简为上三角或下三角行列式，然后直接计算其值。
上三角行列式(\begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ 0 & a{22} & a{23} \ 0 & 0 & a{33} \end{vmatrix})和下三角行列式(\begin{vmatrix} a{11} & 0 & 0 \ a{21} & a{22} & 0 \ a{31} & a{32} & a{33} \end{vmatrix})的值都等于主对角线元素之积(a{11}a{22}a_{33})。
计算行列式(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}) 将第一行乘以(-2)加到第二行，第一行乘以(-3)加到第三行，得到(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & -5 \ 0 & -5 & -7 \end{vmatrix}) 再将第二行乘以(-5)加到第三行，得到(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & -5 \ 0 & 0 & 18 \end{vmatrix}) 所以该行列式的值为(1\times(-1)\times18=-18)
三阶行列式有多种计算方法,在实际计算中，我们可以根据行列式的特点选择合适的方法，以提高计算效率和准确性，掌握这些计算方法对于深入学习线性代数以及解决相关的数学问题都具有重要的意义。
