在数学的世界里，比较两个数或者两个式子的大小是一个常见且基础的问题，我们就聚焦于比较 (a^{5}) 与 (b^{5}) 的大小。
我们需要回顾一下幂函数的性质，对于幂函数 (y = x^{5})，它的定义域是全体实数 (R)，对其求导，根据求导公式 ((x^{n})^\prime=nx^{n - 1})，可得 (y^\prime = 5x^{4})，因为 (x^{4}\geqslant0) 对于任意实数 (x) 都成立，(y^\prime = 5x^{4}\geqslant0)，当且仅当 (x = 0) 时，(y^\prime=0)，这表明幂函数 (y = x^{5}) 在 (R) 上是单调递增函数。
我们分情况讨论 (a^{5}) 与 (b^{5}) 的大小关系。
(a>b)
由于幂函数 (y = x^{5}) 在 (R) 上单调递增，当自变量 (x) 的值越大，函数值也就越大，所以当 (a>b) 时，根据单调递增的性质，我们可以得出 (a^{5}>b^{5})，当 (a = 2)，(b = 1) 时，(a^{5}=2^{5}=32)，(b^{5}=1^{5}=1)，显然 (32>1)，即 (a^{5}>b^{5})。
(a = b)
(a) 和 (b) 的值相等，(a^{5}) 和 (b^{5}) 的值必然也相等，因为将相同的数进行相同次数的乘方运算，结果是一样的。(a=b = 0) 时，(a^{5}=0^{5}=0)，(b^{5}=0^{5}=0)；再如 (a = b=-1) 时，(a^{5}=(-1)^{5}=-1)，(b^{5}=(-1)^{5}=-1)，都满足 (a^{5}=b^{5})。
(a<b)
同样依据幂函数 (y = x^{5}) 的单调递增性，当 (a < b) 时，(a^{5}<b^{5})。(a=-2)，(b=-1)，(a^{5}=(-2)^{5}=-32)，(b^{5}=(-1)^{5}=-1)，因为 (-32<-1)，(a^{5}<b^{5})。
当 (a>b) 时，(a^{5}>b^{5})；当 (a = b) 时，(a^{5}=b^{5})；当 (a < b) 时，(a^{5}<b^{5})，通过对幂函数性质的运用，我们清晰地得出了 (a^{5}) 与 (b^{5}) 的大小比较结果。
