在高等数学的学习中,导数是研究函数变化率的重要工具，对于一般的显函数(y = f(x))，我们可以通过常见的求导法则直接求出其导数，在实际问题中，很多函数是以参数方程的形式给出的，参数方程为我们描述曲线提供了另一种有效的方式，当我们需要研究参数方程所表示曲线的性质，如切线斜率、曲率等时，就需要对参数方程进行求导，一阶导数能反映曲线的切线斜率，而二阶导数则能进一步揭示曲线的凹凸性等更深入的性质，掌握参数方程求导公式二阶具有重要的理论和实际意义。
一阶导数公式回顾
设参数方程为(\begin{cases}x = \varphi(t)\y=\psi(t)\end{cases})，t)为参数，且(\varphi(t))和(\psi(t))都可导，(\varphi^\prime(t)\neq0)，根据复合函数求导法则和反函数求导法则，我们可以推导出(y)x)的一阶导数公式。
因为(y)是通过(t)与(x)建立联系的，即(y = \psi(t))，(t=\varphi^{-1}(x))（这里(\varphi^{-1})表示(\varphi)的反函数），\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx})，又因为(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}})，\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)})。
二阶导数公式推导
二阶导数是一阶导数的导数,即(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}))，我们已经知道(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)})，设(u = \frac{dy}{dx}=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)})，现在要求(\frac{du}{dx})。
同样根据复合函数求导法则(\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx})。
先求(\frac{du}{dt})，对(u=\frac{\psi^\prime(t)}{\varphi^\prime(t)})使用除法求导法则： (\frac{du}{dt}=\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{2}})
而(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{\varphi^\prime(t)})
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{2}}}{\varphi^\prime(t)}=\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{3}})
这就是参数方程求导公式二阶的表达式。
二阶导数公式的应用
下面通过一个具体的例子来说明参数方程求导公式二阶的应用。
已知参数方程(\begin{cases}x = t^{2}+1\y=t^{3}-t\end{cases})，求曲线在(t = 1)处的凹凸性。
求一阶导数： (\frac{dx}{dt}=2t)，(\frac{dy}{dt}=3t^{2}-1) 则(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}-1}{2t})
求二阶导数： (\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{(6t)\cdot(2t)-(3t^{2}-1)\cdot2}{(2t)^{3}}=\frac{12t^{2}-6t^{2} + 2}{8t^{3}}=\frac{6t^{2}+2}{8t^{3}}=\frac{3t^{2}+1}{4t^{3}})
当(t = 1)时，(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{3\times1^{2}+1}{4\times1^{3}} = 1>0)
根据二阶导数的性质,当(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0)时，曲线是凹的，所以曲线在(t = 1)处是凹的。
参数方程求导公式二阶在研究参数方程所表示曲线的性质方面有着重要的作用,通过推导得到的二阶导数公式(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\psi^{\prime\prime}(t)\varphi^\prime(t)-\psi^\prime(t)\varphi^{\prime\prime}(t)}{(\varphi^\prime(t))^{3}})，我们可以进一步分析曲线的凹凸性、曲率等，在实际应用中，我们只需要按照公式的要求，分别求出(\varphi(t))和(\psi(t))的一阶、二阶导数，代入公式即可得到二阶导数的值，从而为解决相关问题提供有力的工具，这也体现了高等数学中复合函数求导法则和反函数求导法则的综合应用，加深了我们对导数概念和求导方法的理解。
