在高等数学的学习中,函数求导是一个核心内容，而复合函数求导更是其中的关键和难点部分，掌握复合函数求导的方法，对于深入理解函数的性质以及解决各类数学和实际问题都具有重要意义，下面就来详细探讨复合函数怎么求导。
复合函数的定义
在正式介绍求导方法之前,我们需要明确什么是复合函数，设函数 (y = f(u)) 的定义域为 (D_f)，函数 (u = g(x)) 的定义域为 (D_g)，且其值域 (R_g\subseteq D_f)，那么由函数 (u = g(x)) 和 (y = f(u)) 可以复合成函数 (y = f[g(x)])，(x\in D_g)，这种函数就称为复合函数，(u) 称为中间变量。(y=\sin(2x)) 就是由 (y = \sin u) 和 (u = 2x) 复合而成的复合函数。
复合函数求导法则——链式法则
复合函数求导遵循链式法则,这是复合函数求导的核心方法，链式法则可以表述为：如果函数 (u = g(x)) 在点 (x) 处可导，而函数 (y = f(u)) 在点 (u = g(x)) 处可导，那么复合函数 (y = f[g(x)]) 在点 (x) 处可导，且其导数为 (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx})，用文字来描述就是，复合函数对自变量的导数，等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
下面通过具体例子来详细说明链式法则的应用。
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例 1：求 (y=\sin(2x)) 的导数
- 第一步,设 (u = 2x)，则原函数 (y=\sin(2x)) 可看作是由 (y = \sin u) 和 (u = 2x) 复合而成。
- 第二步,分别求 (\frac{dy}{du}) 和 (\frac{du}{dx})，对于 (y = \sin u)，根据基本求导公式，(\frac{dy}{du}=\cos u)；对于 (u = 2x)，(\frac{du}{dx}=2)。
- 第三步,根据链式法则 (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx})，将 (\frac{dy}{du}=\cos u) 和 (\frac{du}{dx}=2) 代入，再把 (u = 2x) 回代，得到 (\frac{dy}{dx}=\cos(2x)\cdot2 = 2\cos(2x))。
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例 2：求 (y=(3x^2 + 1)^5) 的导数
- 设 (u = 3x^2+1)，则 (y = u^5)，原函数是由 (y = u^5) 和 (u = 3x^2 + 1) 复合而成。
- 求 (\frac{dy}{du}) 和 (\frac{du}{dx})，对于 (y = u^5)，根据幂函数求导公式 ((x^n)^\prime=nx^{n - 1})，可得 (\frac{dy}{du}=5u^4)；对于 (u = 3x^2+1)，(\frac{du}{dx}=6x)。
- 由链式法则 (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx})，将 (\frac{dy}{du}=5u^4) 和 (\frac{du}{dx}=6x) 代入，再把 (u = 3x^2 + 1) 回代，得到 (\frac{dy}{dx}=5(3x^2 + 1)^4\cdot6x=30x(3x^2 + 1)^4)。
多层复合函数的求导
有些复合函数可能是多层复合的,即由多个中间变量复合而成，对于多层复合函数求导，链式法则同样适用，只是需要从外层到内层逐步求导，对于函数 (y = f{g[h(x)]})，设 (u = h(x))，(v = g(u))，则 (y = f(v))，其导数为 (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx})。
- 例 3：求 (y=\sin^2(3x + 1)) 的导数
- 设 (u = 3x + 1)，(v=\sin u)，则 (y = v^2)，原函数是由 (y = v^2)，(v=\sin u) 和 (u = 3x + 1) 三层复合而成。
- 分别求导：(\frac{dy}{dv}=2v)，(\frac{dv}{du}=\cos u)，(\frac{du}{dx}=3)。
- 根据链式法则 (\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx})，将上述导数代入，再把 (v=\sin u) 和 (u = 3x + 1) 回代，得到 (\frac{dy}{dx}=2\sin(3x + 1)\cdot\cos(3x + 1)\cdot3=6\sin(3x + 1)\cos(3x + 1))，根据二倍角公式 (\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha)，可进一步化简为 (3\sin(6x + 2))。
复合函数求导的关键在于正确分解复合函数,找出中间变量，然后运用链式法则从外层到内层逐步求导，在求导过程中，要熟练掌握基本函数的求导公式，并且注意将中间变量回代，通过大量的练习，不断加深对复合函数求导法则的理解和运用，就能准确、快速地求出复合函数的导数。
